A BELEZA ESCONDIDA DA MATEMÁTICA

Um objeto é simétrico quando existe uma “harmonia de proporções” de suas partes em relação ao todo: altura, largura e comprimento têm uma relação equilibrada entre si. Estritamente relacionada à harmonia e beleza, a simetria é também um conceito decisivo nas teorias sobre a natureza. Na Grécia Antiga o conceito floresceu e nos influencia até hoje.

Há quem diga que o tamanho e a proporção dos sólidos perfeitos descritos por Platão têm uma relação entre si - as faces das partículas de fogo, água e ar poderiam ser combinadas entre si por serem proporcionais. Teriam, entre elas, a “proporção áurea” - ou um tipo de simetria que marca o ritmo de crescimento no desenvolvimento de diversas espécies. As folhas de uma árvore, por exemplo, depois de nascida a primeira, se multiplicam mais ou menos nesta velocidade: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… e daí por diante. O último número é sempre a soma dos dois antecessores -- e dividindo cada número pelo seu antecessor, o resultado vai ser bem próximo de 1,6180, ou o que matemáticos como o italiano Leonardo Fibonacci (1175 - 1250) consideram como “a proporção áurea”. Esta sequência de números - sempre com a razão áurea entre eles - quando aplicada a uma sucessão de quadrados proporcionais dentro de um retângulo, gera um “retângulo de ouro”. Se traçarmos uma linha, formada por quartos de círculo, seguindo a progressão das figuras formadas nele, temos a “espiral áurea”, como no desenho ao lado.

Existem, também, diversas outras formas de simetria visíveis na natureza. Há o tipo de simetria bilateral, como o reflexo de uma imagem em um lago que pode ser dividida em duas partes idênticas; e também pode ser radial, quando a imagem se forma no entorno de um ponto central e se “irradia” para todos os lados, como uma flor aberta ou um dente-de-leão amarelo. A simetria também se manifesta em formas complexas como fractais, em que uma estrutura em sua parte é parecida com o todo em qualquer escala. E ainda, no caso de sons e ondas de mesma frequência, não é exagero dizer que os sons e luzes sejam, também, simétricos. No mundo natural, as simetrias não são completamente perfeitas, abrigando algumas imperfeições visíveis.

Uma das principais simetrias existentes na natureza é a bilateral. Nela, um lado do corpo da planta ou animal é uma cópia muito aproximada do outro, como se existisse um plano capaz de dividir a imagem em dois lados - ou duas imagens quase refletidas. Esta morfologia, não raramente, tem uma função clara: seria bastante difícil para um pássaro voar em linha reta se o tamanho de suas asas não fosse aproximadamente o mesmo, por exemplo.

Um corpo tem simetria radial se, ao ser cortado várias vezes, gera pedaços iguais. Ou se é possível “rodá-lo” em torno de um eixo central e obter um efeito de círculo. A principal diferença em relação às formas esféricas é que, no caso das esferas, não existe um lado “para cima” nem um lado “para baixo”, como em um disco mais ou menos plano. Nas formas radiais, estes lados existem.

Há formas ou espécies que combinam mais de um tipo de simetria. As espécies birradiais, por exemplo, combinam as simetrias radial e bilateral. Elas não são muito comuns na natureza, e talvez um dos melhores representantes deste tipo de formato são as águas-vivas-de-pente ou carambolas-do-mar. Estes animais marinhos, que lembram as águas-vivas, têm seus lados opostos simétricos - mas cada lado é diferente do seu adjacente. Ou seja: se fosse uma figura geométrica, uma carambola-do-mar poderia ser facilmente representada por um retângulo: os lados de cima e de baixo são iguais. No entanto, são diferentes de seu lado direito e esquerdo (que também são iguais). Se todos os lados fossem exatamente iguais, a figura não seria mais um retângulo, e sim um quadrado.

“Fractal”, termo cunhado pelo matemático francês Benoît Mandelbrot em meados da década de 1970, vem do latim “fractus”, ou “quebrado”. Isso explica a lógica da geometria de um fractal: é uma estrutura que tem simetria por escala. Qualquer parte de um fractal, por menor que seja, tem o mesmo formato da figura inteira. Um bom exemplo é o cubo ao lado, muito conhecido por Esponja de Menger. A figura leva este nome em homenagem ao matemático austríaco Karl Menger, que no século passado estudou a topologia de objetos geométricos.

Nem todas as simetrias que conhecemos acontecem na dimensão espacial, na forma de figuras geométricas ou formas encontradas na natureza. Simetrias também existem no mundo natural de outras formas que podemos ver, ouvir e sentir. Luz e som, por exemplo, se comportam em forma de onda - e podemos dizer que são, por isso, simétricos quando seu comprimento de onda é regular. Sua simetria não se dá no espaço como uma figura geométrica que podemos ver -- com sua pulsação, luz e som são simétricos no tempo. Algumas estrelas, por exemplo, têm variações de brilho -- ou pulsações -- regulares. A RS Puppis, localizada perto do centro da nossa Via Láctea, é uma delas: sua periodicidade de pulsação é de 40 dias, aproximadamente.